ANÁLISE COMBINATÓRIA

Princípio Fundamental da Contagem

Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então , o número de modos de realizar a ação é m . n.

Ex: Com os algarismos 1,2,3,4,5, 6 e 7 quantos números naturais ímpares de três algarismomdidtintos podemos formar?

R.Formar um número ímpar de três algarismos distintos é uma ação composta de três etapas sucessivas, sendo que a primeira é escolher o algarismo das unidades, que deve ser ímpar( há 4 possibilidades:1,2,3,4,5 , 6 e 7.Eliminando o algarismo escolhido, sobram 6 possibilidades para a escolha do 2º e, e, depois, 5 possibilidadespara a escolha do 2º e , depois , 5 possibilidades possibilidades para a escolha do 3º algarismo .Assim ____,____,_____
6 x 5 x 4 = 120 Portanto , são 120 números nestas condições.

Fatorial

Indicamos por n! (leia: n fatorial) o produto dos n primeiros números naturais positivos .

5! = 5.4.3.2.1 = 120

7! = 7.6.5.4.3.2.1=5040

Dado um número natural qualquer n , sendo n maior que 1 definimos :

n! = n .(n - 1).(n-2)...3.2.1

Nos casos particulares se n= 1 e n = 0 definimos :1! = 1 e 0! = 1

Ao desenvolver um fatorial, colocando os fatores em ordem decrescente, podemos parar onde for conveniente indicando os últimos fatores na notação de fatorial.

Ex: Simplificar e calcular :

a) 10! / 8! = 10.9.8! / 8! cancelamos 8! e ficamos com10.9 = 90

b) 10! /12! = 10! / 12.11.10! cancelamos 10! e calculamos o que sobrou ou seja 1/ 132

As frações podem ser simplificadas desenvolvendo o fatorial até chegar no menor dos fatoriais.

Arranjo

Denominamos arranjos de n elementos distintos tomados p a p , às sucessões formadas de p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

An,p= n! / ( n - p) !


Podemos resolver a questão acima por arranjo .Observe que os números ímpares entre
os algarismos acima são 1,3,5 e 7

___,____, 1 A6,2


___,____, 3 A6,2


___,____ 5 A6,2


___, ____ 7 A6,2


Assim temos 4 x A6,2 = 4 x 6! / ( 6 - 2) ! = 4 x 6! / 4!


4 x 6x5x4! /4! = 4x 6 x 5 = 120 Veja o conteúdo no livro MATEMÁTICA COMPLETA.



Permutação Simples.

Denominamos permutação de n elementos dados a toda sucessão de n termos formada com os n elementos dados.

Duas permutações dos mesmos objetos são diferentes se a ordem dos objetos numa delas é diferente da ordem em que os objetos estão colocados na outra.

As permutações são representadas utilizando parênteses e separando os termos por vírgulas ou ponto e vírgula ( como sucessões).

Ex: Formar os anagramas da palavra

a) LIA b) LILI

Os anagramas são as palavras formadas com as mesmas letras da palavra dada.Tais palavras podem não ter significado na linguagem comum.

a) Os anagramas são: LIA, LAI, ALI, AIL, IAL, ILA P = 3! =3.2.1= 6

b) Os anagramas são:LILI,LIIL, LLII ,ILLI ,ILIL , IILL P= 3! = 3.2.1=6

Permutação com repetição

Quantas permutações podemos formar com elementos entre os quais há repetições:

Com as letras A , A e B há 3 permutações apenas:

(A,A,B) , (A,B,A) e ( B,A,A)

Se as letras A e A fossem distintas (por exemplo , A1 e A2), cada uma destas permutações

geraria duas permutações distintas:

(A,A,B) ____(A1,A2,B) e (A2,A1,B)

(A,B,A) ____(A1,B,A2) e ( A2,B,A1)

(B, A,A) ____(B,A1,A2) e (B, A2,A1)

Já sabíamos que o número de permutações de 3 elementos distintos é P3= 3! =3.2.1=6
Agora vemos que se entre os entre os 3 elementos tivermos 2 repetidos , este número fica dividido por 2!( que é o número de permutações dos 2 elementos se eles forem considerados distintos).Indicamos o número de permutaçõesde 3 elementos sendo 2 repetidos P2 .Temos
3
P2 =3! /2! = 6/2 = 3
3


Combinação

Quando agrupamos elementos de modo que em cada agrupamento não importa a ordem dos elementos, estes agrupamentos são chamados de COMBINAÇÕES.Na linguagem matemática, as combinações são conjuntos cujos elementos são escolhidos entre os elementos dados.Considere os elementos André, Camila , Vera e Paulo. Vamos escrever as combinações destes 4 elementos tomados 2 a 2:{ ANDRÉ, CAMILA} , {André,Vera},{André,Paulo} ,{Camila, Vera},{Camila, Paulo}, {Vera, Paulo}.Observe que duas combinações são diferentes apenas quando tem elementos diferentes.

Ex.Formar as combinações dos algarismos 1,3,5,7 e 9 tomados 2 a 2.As combinações são os conjuntos de dois algarismos escolhidos entre os algarismos dados: {1,3}, {1,5}, {1,7}, {1,9},{3,5},{3,7},{3,9},{5,7},{5,7},{5,9},{7,9}