25 ALUNOS DA ESCOLA ADAUTO BEZERRA SÃO APROVADOS NO VESTIBULAR DA UFC

Conteúdo do 4 Bimestre 2009

A todos(as) os(as) alunos(as) , feliz 2010 e que o interesse de aprender esteja sempre presente durante o decorrer do ano que se inicia.

No quarto bimestre estudaremos Binômio de Newton e Introdução à Probabilidade

Binômio de Newton

Vamos aplicar a Análise Combinatória para obter o desenvolvimento de (x + a) elevado a n usando a fórmula da combinação .

Isaac Newton , nasceu no dia de Natal de 1642,descobriu o teorema binomial em 1664 ou 1665 e tem o seu nome ligado à descoberta do cálculo diferencial,lei da gravitação e natureza da cores.Faleceu em 1727.
Estudaremos :
1) os números binomiais
2)o triãngulo de Pascal e suas propriedades
3)fórmula do binômio de Newton
4)a fórmula do termo geral

PROVAS DO 3º BIMESTRE 2009

As provas do 3º bimestre 2009, acontecerão dias 16, 17 e 18 de dezembro .

A prova de Matemática I será dia 17 de dezembro.

Os conteúdos para a prova bimestral de Matemática I são:
*Princípio fundamental da contagem
*Arranjos
*Permuitações
*Combinações

Obs: O estudo do binômio de Newton fica para o 4º bimestre .
Obs: Resolva os exercícios do livro.

SEMANA DE PROVAS PARCIAIS

DE 16/11 A 20/11/2009 PERIODO DE PROVAS PARCIAIS DOS CONTEÚDOS :PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM,FATORIAL E ARRANJOS.

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Princípio Fundamental da Contagem

Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então , o número de modos de realizar a ação é m . n.

Ex: Com os algarismos 1,2,3,4,5, 6 e 7 quantos números naturais ímpares de três algarismomdidtintos podemos formar?

R.Formar um número ímpar de três algarismos distintos é uma ação composta de três etapas sucessivas, sendo que a primeira é escolher o algarismo das unidades, que deve ser ímpar( há 4 possibilidades:1,2,3,4,5 , 6 e 7.Eliminando o algarismo escolhido, sobram 6 possibilidades para a escolha do 2º e, e, depois, 5 possibilidadespara a escolha do 2º e , depois , 5 possibilidades possibilidades para a escolha do 3º algarismo .Assim ____,____,_____
6 x 5 x 4 = 120 Portanto , são 120 números nestas condições.

Fatorial

Indicamos por n! (leia: n fatorial) o produto dos n primeiros números naturais positivos .

5! = 5.4.3.2.1 = 120

7! = 7.6.5.4.3.2.1=5040

Dado um número natural qualquer n , sendo n maior que 1 definimos :

n! = n .(n - 1).(n-2)...3.2.1

Nos casos particulares se n= 1 e n = 0 definimos :1! = 1 e 0! = 1

Ao desenvolver um fatorial, colocando os fatores em ordem decrescente, podemos parar onde for conveniente indicando os últimos fatores na notação de fatorial.

Ex: Simplificar e calcular :

a) 10! / 8! = 10.9.8! / 8! cancelamos 8! e ficamos com10.9 = 90

b) 10! /12! = 10! / 12.11.10! cancelamos 10! e calculamos o que sobrou ou seja 1/ 132

As frações podem ser simplificadas desenvolvendo o fatorial até chegar no menor dos fatoriais.

Arranjo

Denominamos arranjos de n elementos distintos tomados p a p , às sucessões formadas de p elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados.

An,p= n! / ( n - p) !


Podemos resolver a questão acima por arranjo .Observe que os números ímpares entre
os algarismos acima são 1,3,5 e 7

___,____, 1 A6,2


___,____, 3 A6,2


___,____ 5 A6,2


___, ____ 7 A6,2


Assim temos 4 x A6,2 = 4 x 6! / ( 6 - 2) ! = 4 x 6! / 4!


4 x 6x5x4! /4! = 4x 6 x 5 = 120 Veja o conteúdo no livro MATEMÁTICA COMPLETA.



Permutação Simples.

Denominamos permutação de n elementos dados a toda sucessão de n termos formada com os n elementos dados.

Duas permutações dos mesmos objetos são diferentes se a ordem dos objetos numa delas é diferente da ordem em que os objetos estão colocados na outra.

As permutações são representadas utilizando parênteses e separando os termos por vírgulas ou ponto e vírgula ( como sucessões).

Ex: Formar os anagramas da palavra

a) LIA b) LILI

Os anagramas são as palavras formadas com as mesmas letras da palavra dada.Tais palavras podem não ter significado na linguagem comum.

a) Os anagramas são: LIA, LAI, ALI, AIL, IAL, ILA P = 3! =3.2.1= 6

b) Os anagramas são:LILI,LIIL, LLII ,ILLI ,ILIL , IILL P= 3! = 3.2.1=6

Permutação com repetição

Quantas permutações podemos formar com elementos entre os quais há repetições:

Com as letras A , A e B há 3 permutações apenas:

(A,A,B) , (A,B,A) e ( B,A,A)

Se as letras A e A fossem distintas (por exemplo , A1 e A2), cada uma destas permutações

geraria duas permutações distintas:

(A,A,B) ____(A1,A2,B) e (A2,A1,B)

(A,B,A) ____(A1,B,A2) e ( A2,B,A1)

(B, A,A) ____(B,A1,A2) e (B, A2,A1)

Já sabíamos que o número de permutações de 3 elementos distintos é P3= 3! =3.2.1=6
Agora vemos que se entre os entre os 3 elementos tivermos 2 repetidos , este número fica dividido por 2!( que é o número de permutações dos 2 elementos se eles forem considerados distintos).Indicamos o número de permutaçõesde 3 elementos sendo 2 repetidos P2 .Temos
3
P2 =3! /2! = 6/2 = 3
3


Combinação

Quando agrupamos elementos de modo que em cada agrupamento não importa a ordem dos elementos, estes agrupamentos são chamados de COMBINAÇÕES.Na linguagem matemática, as combinações são conjuntos cujos elementos são escolhidos entre os elementos dados.Considere os elementos André, Camila , Vera e Paulo. Vamos escrever as combinações destes 4 elementos tomados 2 a 2:{ ANDRÉ, CAMILA} , {André,Vera},{André,Paulo} ,{Camila, Vera},{Camila, Paulo}, {Vera, Paulo}.Observe que duas combinações são diferentes apenas quando tem elementos diferentes.

Ex.Formar as combinações dos algarismos 1,3,5,7 e 9 tomados 2 a 2.As combinações são os conjuntos de dois algarismos escolhidos entre os algarismos dados: {1,3}, {1,5}, {1,7}, {1,9},{3,5},{3,7},{3,9},{5,7},{5,7},{5,9},{7,9}

MÉDIAS DO 2º BIMESTRE 2009 MATEMÁTICA I

PARA VER SUA NOTA CLIK NA TABELA DE NOTAS.

3º BIMESTRE 2009 MATEMÁTICA I INÍCIO 19/10/2009 TÉRMINO 30/12/2009

Conteúdo:

Análise Combinatória

1.Problema de contagem (explicado)
2.Princípio multiplicativo (explicado)
3.Fatorial (explicado)
4.Arranjo simples

1ªAVALIAÇÃOPARCIAL 3º BIMESTRE: 16 a 20/11/2009

5.Permutação simples
6.Permutação com elementos repetidos
7.Combinação simples
8.Número binomial

2ªAVALIAÇÃO PARCIAL 3º BIMESTRE:30/11 A 04 /12/2009

9. Fórmula do binômio de Newton

AVALIAÇÃO BIMESTRAL (TODO CONTEÚDO):data a ser divulgada


OBS: breve resumo das aulas

OBMEP 2009

DIA 25/08/2009 É DIA DA PROVA DA OBMEP 2009.